定理描述：  

    算术基本定理（Fundamental Theorem of Arithmetic）也称为“素数唯一分解定理”，是数论中的一条基本且核心的定理。它的内容可以分为两个部分：存在性和唯一性。

公式：

    任意整数 \((n>1)\) 可以写成：

\(n = \prod_{i=1}^{k} p_i^{\alpha_i}\) 或 \(n = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dots \cdot p_k^{\alpha_k}\)

    其中 \(p_1, p_2, \dots, p_k\) 是互不相同的质数，\(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k\) 是非负整数。

定理内容：

1.存在性

    每个整数 \((n>1)\) 至少能分解成一个素数的乘积。

    基本思路：

• 若 \(n \)本身是素数，则分解完成；
• 若 \(n\) 不是素数，则存在一个真因子 \(a (1<a<n)\)，此时可对 \(a\) 与 \(\frac{n}{a}​\) 继续递归分解，最终都会化归为素数。

2.唯一性

    素数分解在“哪些素数出现”及“每个素数的幂次”上具有唯一性。即若有

\(n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k} = q_1^{\beta_1} q_2^{\beta_2} \cdots q_m^{\beta_m}\)​​

    其中 \(p_i​\) 与 \(q_j\)​ 都是素数，且按大小顺序排列，则必有

\(k = m,\quad p_i = q_i,\quad \alpha_i = \beta_i \quad (i = 1, 2, \dots, k).\)

证明：

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E6%9C%AF%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86