一、整数与自然数
整数：
包括正整数、负整数和 \(0\)。比如：\(-2, -1, 0, 1, 2…\)
自然数：
从 \(0\) 开始的正整数。
二、奇数与偶数
偶数：
能被 \(2\) 整除的整数，形式为 \(2n\)。
奇数：
不能被 \(2\) 整除的整数，形式为 \(2n+1\)。
三、质数与合数
质数（素数）：
大于 \(1\)，只能被 \(1\) 和自身整除的数，例如 \(2、3、5、7、11\)。
合数：
大于 \(1\) 且除了 \(1\) 和自身还有别的因数的整数，例如 \(4（2×2）、6（2×3）、8\)。
四、质因子（素因子）
质因子：能整除某个数的质数，就是这个数的质因子。
换句话说，如果一个数 \(n\) 能被某个质数 \(p\) 整除，那么这个 \(p\) 就是 \(n\) 的一个质因子。
五、质因数分解与算术基本定理
质因数分解：
将一个大于 \(1\) 的整数分解成若干个质数的乘积。
算术基本定理：
每个大于 \(1\) 的整数都可以唯一表示为质数的乘积。
六、因数与倍数
因数：
能整除一个数的正整数。例如：\(6\) 的因数是 \(1、2、3、6\)。
倍数：
能被一个数整除的数。例如：\(6\) 的倍数有 \(6、12、18、24…\)
七、公因数与公倍数
公因数：
两个数都能整除的因数。例如：\(6\) 和 \(9\) 的公因数是 \(1\) 和 \(3\)。
公倍数：
能被两个数同时整除的数。例如：\(6\) 和 \(9\) 的最小公倍数是 \(18\)。
八、最大公因数与最小公倍数
最大公因数（GCD）：
两个数共有因数中最大的那个。记作 \(\gcd(a, b)\)。
最小公倍数（LCM）：
两个数共有的所有倍数中最小的那个。记作 \(\mathrm{lcm}(a, b)\)。
关系：
- \(\mathrm{lcm}(a, b) = \frac{a}{\gcd(a, b)} \times b\)
- \(\gcd(a, b) \times \mathrm{lcm}(a, b) = a \times b\)
九、整除与余数
给定两个整数 \(a\) 和 \(b\)，存在唯一一组整数 \(q\) 和 \(r\)，使得
\(a=bq+r \text{ 且 } 0≤r<∣b∣\)
这就是我们平时说的“商”和”余数”。
十、整除性质
- 若 \(a \mid b\) 且 \(b \mid c\)，则 \(a \mid c\)。
- 若 \(a \mid b\) 且 \(a \mid c\)，则 \(a \mid (bx + cy)（x, y 为整数）\)。
十一、同余
若两个整数对某个数取模后余数相同，则称它们对该数同余。记作：
\(a \equiv b \pmod{m}\)
同余的基本性质：
- \(a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow a + c \equiv b + c \pmod{m}\)
- \(a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow a \cdot c \equiv b \cdot c \pmod{m}\)
十二、数字整除规则
- 一个数能被 \(2\) 整除：末尾是 \(0、2、4、6、8\)。
- 能被 \(3\) 整除：各位数字之和能被 \(3\) 整除。
- 能被 \(4\) 整除：末两位数字组成的数能被 \(4\) 整除。
- 能被 \(5\) 整除：末位是 \(0\) 或 \(5\)。
- 能被 \(8\) 整除：末三位数字组成的数能被 \(8\) 整除。
- 能被 \(9\) 整除：各位数字之和能被 \(9\) 整除。
