本文介绍线性代数中一个非常重要的内容——矩阵（\(Matrix\)），主要讲解矩阵的性质、运算，以及矩阵乘法，只讲解一些基础内容，非原创。
定义
由 \(m × n\) 个数 \(a_{ij}\) 排成的 \(m\) 行 \(n\) 列的数表称为 \(m\) 行 \(n\) 列的矩阵，简称 \(m × n\) 矩阵。记作：
\(A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}\)同型矩阵
两个矩阵，行数与列数对应相同，称为同型矩阵。
方阵
行数等于列数的矩阵称为方阵。方阵是一种特殊的矩阵。对于「\(𝑛\) 阶矩阵」的习惯表述，实际上讲的是 \(𝑛\) 阶方阵。阶数相同的方阵为同型矩阵。
特殊矩阵
零矩阵
所有元素都是零的矩阵，用 \(0\) 来表示。
\(0 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}\)单位矩阵
一般用 \(I 来表示单位矩阵，就是主对角线上为 [latex]1\)，其余位置为 \(0\)。记作：
\(I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}\)运算
相等
矩阵 \(A, B\) 相等当且仅当他们大小相等且对于所有 \(ij\) 都有 \(a_{ij}=b_{ij}\)，总结成一句话，就是他们长的一模一样。
\(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{bmatrix}\)加法
若 \(C = A + B\) 则对于所有 \(ij\) 都有 \(c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}\)。
要求 \(A\) 的大小要等于 \(B\) 的大小，总结成一句话，一个一个加。
\(A + B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix}\)减法同理。
数量乘法
用一个数 \(k\) 去乘 \(A\) 就等于 \(k\) 成他的每一位，总结成一句话，一个一个乘。
\(kA = k \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{bmatrix}\)乘法
首先要求 \(A\) 的列数要等于 \(B\) 的行数。
若 \(A=(a_{ij})_{m×r}\)，\(B=(b_{ij})_{r×n}\)，则乘出的矩阵大小是 \(C=(c_{ij})_{m×n}\)
其中
\(c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}\)称 \(A\) 与 \(B\) 的乘积，记做 \(C = AB\)。
性质：
- 任意矩阵乘 \(\mathbf{0}\) 得 \(\mathbf{0}\) ： \(\mathbf{0}A = A\mathbf{0} = \mathbf{0}\)
- 任意矩阵乘单位矩阵 \(I\) 得本身： \(IA = AI = A\)
- 结合律： \(A(BC) = (AB)C\)
- 左分配律： \(A(B + C) = AB + AC\)
- 右分配律： \((B + C)A = BA + CA\)
- 注意：矩阵乘法没有交换律。
